Límite de funciones racionales
Las funciones racionales son las que están formadas por el cociente de dos funciones polinomiales, son de la forma:
Cuando se obtiene el límite de una función racional, puede dar como resultado alguno de los siguientes casos:
Con ejemplos se mostrarán los tres casos, determinando el comportamiento de la función mediante gráficas, debido aque en el caso II la función puede tener límite, y en el caso 3, el límite no existe.
Utilizando el teorema de límite de una función polinomial, se lleva a cabo la sustitución directa de los polinomios que conforman la función racional.
Se recurrirá a la tecnología, como son el graficador Winplot, para poder visualizar la gráfica completa y realizar el análisis más rápido, verificando que el límite obtenido es congruente con la gráfica de la función.
El resultado corresponde al segundo caso de límites de funciones racionales, debido a que en −3 se indefine la función, pero dicha indefinición puede ser un punto hueco o que existan asíntotas. En el caso de que hubiera un punto hueco, el límite sí existe y en el caso de que estuviera una asíntota, no existiría el límite. Para determinar de qué indefinición se trata, se requiere utilizar algebra preliminar, en este caso es necesario recurrir a la factorización, como se muestra a continuación.
En esta etapa, se puede cancelar el factor (x+3), que hace cero tanto al numerador como al denominador, y es válido cancelarlo debido a que x se aproxima infinitamente a −3, pero sin llegar a tomar su valor.
Al transformarse:
se puede concluir que su gráfica es una recta con un punto hueco en (−3, −5), como se observa en la gráfica correspondiente.
En el plano de la izquierda se visualiza mejor el punto hueco y en el derecha puedes observar que cuando tiende a −3 por ambos lados, la función se aproxima a −5, que es la altura a la que se encuentra la indefinición.
Aunque se obtuvo como primer resultado 0/0y se realizó la factorización correspondiente, el límite de la función no existe. Ahora se observará gráficamente el comportamiento de la función alrededor de x=2.
En la gráfica se observa que los límites unilaterales no coinciden por lo tanto, el límite de la función cuando “x” tiende a 2, no existe.
